Comment trouver l’équilibre de Nash ?

Comment trouver l'équilibre de Nash ?

Comment trouver l’équilibre de Nash ?

L’équilibre de Nash : définition

L’équilibre de Nash est un concept utilisé en théorie des jeux pour décrire une situation dans laquelle aucun joueur ne peut améliorer son gain en changeant unilatéralement sa stratégie, compte tenu des choix des autres joueurs. Autrement dit, c’est une situation stable dans laquelle chaque joueur a choisi la meilleure réponse à la stratégie des autres joueurs.

La théorie des jeux et l’équilibre de Nash

La théorie des jeux est une branche des mathématiques qui étudie les jeux de stratégie dans lesquels plusieurs joueurs interagissent. Cette théorie repose sur l’idée que chaque joueur choisit une stratégie en tenant compte des actions possibles des autres joueurs et des conséquences de ces actions sur le gain de chaque joueur.

Dans cette théorie, l’équilibre de Nash est un outil important pour prédire les résultats des jeux. Il permet de déterminer une solution stable dans laquelle chaque joueur a choisi la meilleure réponse à la stratégie des autres joueurs.

Comment trouver l’équilibre de Nash ?

Il existe plusieurs méthodes pour trouver l’équilibre de Nash dans un jeu :

Méthode 1 : La méthode la plus simple consiste à examiner toutes les combinaisons de stratégies possibles pour chaque joueur et à déterminer les gains correspondants pour chaque joueur. L’équilibre de Nash correspondra à la situation dans laquelle aucun joueur ne peut améliorer son gain en changement unilatéralement sa stratégie.

Méthode 2 : Une autre méthode consiste à utiliser des graphiques pour représenter la situation de jeu. Pour cela, chaque joueur est représenté par une ligne et chaque stratégie par un point sur cette ligne. L’équilibre de Nash correspondra aux points d’intersection des lignes correspondantes à chaque joueur.

Méthode 3 : Enfin, il est possible d’utiliser des algorithmes spécifiques pour trouver l’équilibre de Nash dans des jeux plus complexes. Ces algorithmes reposent sur des méthodes de résolution de systèmes d’équations non linéaires.

Exemple de l’équilibre de Nash

Prenons l’exemple d’un jeu simple à deux joueurs dans lequel chacun doit choisir entre deux stratégies : coopérer ou trahir. Les gains correspondants sont les suivants :

  • Si les deux joueurs coopèrent, chacun gagne 3 points
  • Si les deux joueurs trahissent, chacun gagne 1 point
  • Si un joueur coopère et que l’autre le trahit, le premier joueur ne gagne aucun point et le deuxième joueur gagne 5 points

Il est facile de constater que l’équilibre de Nash dans ce jeu correspond à la situation dans laquelle les deux joueurs trahissent. En effet, si l’un des deux joueurs change de stratégie pour coopérer, il ne gagnera aucun point, car l’autre joueur a intérêt à trahir pour gagner 5 points.

Conclusion

En résumé, l’équilibre de Nash est un concept important de la théorie des jeux. Il permet de prédire les résultats d’un jeu en déterminant une situation stable dans laquelle aucun joueur ne peut améliorer son gain en changeant unilatéralement sa stratégie. Il existe plusieurs méthodes pour trouver l’équilibre de Nash dans un jeu, mais la méthode la plus simple consiste à examiner toutes les combinaisons de stratégies possibles pour chaque joueur.